〔转帖〕逻辑思维的登峰造极——康托关于无限的理论

逻辑思维的登峰造极——康托关于无限的理论

　　作者：常春藤

　　[前言]   “自然辩证法能不能指导科学研究”的网上讨论深入到对恩格斯
总结的三大法则是否具有科学性的辩论后,特别是深入到”芝诺悖论”,”物体运
动本质”等哲学命题的辩论后,常出现一些同无限有关的论断,诸如”无限和有限
是一对矛盾的统一”，”无限和有限可以互相转化”等,一时难以辨清,征诸恩格
斯原著<自然辩证法>(手稿),也只有”无限既是可以认识的,又是不可以认识的”
之类空泛的论述,无可操作的规矩.但实际上无限并不是可以被左右逢源地任意解
释,几乎就在恩格斯写他的<自然辩证法>(手稿)同时,他的同胞格奥尔格-康托
(George Cantor, 1845--1918)对无限的研究已经取得了惊世的成就,被国际数学
领袖大卫-希尔伯特(David Hilbert, 1862—1943)尊为”纯粹理性范畴中,人类
活动取得的最高成就之一”.康托的研究还导致整个数学基础重建,此番伟业已记
入人类科学思想发展的历史.但哲学界朋友对此了解的不多,也就影响到涉及无限
的哲学命题真伪的探讨.为此,笔者介绍康托有关无限研究中的几个基本问题和由
此引出的推动20世纪数学发展的重大课题.以此了解数学如何揭开几千年来笼罩
在无限头上虚无缥缈的面纱,领略逻辑思维的强大威力,共享”化空泛议论为严密
推理”的成功经验,深愿对深入探讨”自然辩证法三大法则”是否属于科学思维
有所启示.                      

　　*                                *

　　无限(infinite)是人类理性思考中很早关心的一个题目.最初的理解是”数
不尽”(countless),例如在印度,人们索性用”恒河沙”来称呼无限,就是多得数
不尽的意思.在中国则把它同”没完没了”(endless)相联系,庄子就有”一丈之棰,
日取其半,万世不竭”之说,颇有哲学思维.但几千年来, 对无限的理解一直未能
走上科学思维的道路,只有朦胧哲学概念的重复,究其原因有二:

　　1.  没有给无限下过精确的定义,尽是感性化的描述;

　　2.  没有找到有效处理无限的工具,无法进入实质性解剖;

　　进入牛顿时代,微积分中极限,无穷级数等基于”无穷过程”的概念和处理方
法出来后,很多学者把”量的无限”同”过程的无限”混在一起,放弃了对”量的
无限”本质的探讨.这些问题只有在康托发表关于无限研究的一系列文章后,才获
得突破性的进展.下面通过关于无限的三个基本问题的介绍,一窥康托开辟的无限
天地的神奇,并以我们身边的一个世纪难题,领会康托研究的平凡与深燧.

　　”有限”,”无限”都是数量意义上的描述语,说的是集合的量的基本表征,
下面的介绍就借助集合概念展开.

　　所谓集合是指可以被思考的,彼此可区别的对象组成的集体,常记为{….},它
的个体称为元素,集合的部分称为子集合.

　　首先要考虑的是集合之间怎样比较.  有限集合可用元素个数做比较,哪个多
哪个少有明确的答案;但无限集合之间如何比较? “ 如: A = {1, 2, 3, 4,….,
n, n+1, ….}, B = {2, 4, 6, 8,….,2 n,  2(n+1), ….},以及 C = {2^1, 2^2,
2^3, …, 2^n, 2^(n+1), …} 都是无限集合. 它们中谁的元素个数”多”?谁的”
少”?好象A最”多”,B其次,C最”少”. 但它们之间却能建立一一对应,把它们
说成”一样多”似乎更合理一些.可见进入无限领域后,”多”与”少”的”比较
手段应被一个”视野更高”的所替代.19世纪70年代,德国数学家G. Cantor提出
把两个集合(有限或无限)之间能否建立一一对应关系作为集合之间比较的手段:

　　两个集合,若它们的元素之间能建立一个一一对应关系,则称它们对等的
(equivalent),或称有相同的势(Cardinal number),不然就是不对等的,或称有不
同的势.显然这种对等关系把有限情况下的个数相等也涵盖了.

　　特别称能同整数集合Z = {1, 2, 3, …., n, n+1, ….}建立一一对应的集
合(当然是无限集)称为”可列无限集”,所谓”可列”是指可以把元素依一定规
则”一个个排起队来,任何两个中间不会有其它一个”的意思. 依照Cantor, 可
列无限集合的势常记为?_0(注: ?,希伯来文的一个字母,读作Aleph).

　　任何无限集合A中必含有一个可列无限的集合.这是因为可从A 中一个一个地
取出元素:a_1, a_2, a_3, …a_n,,且永远也拿不完, 它们组成了集合 A_0 =
{a_1, a_2, a_3, a_4, …, a_n, a_(n+1), …. },并它可同整数集合 Z 建立一
一对应.因之是可列无限集合.  由此出发,可以证明一个集合为无限集的充分和
必要条件是,它能同它自己的一个真子集建立一一对应(证明不难,在此从略).这
个充要条件就用来做为无限集合的定义,它不存在任歧义的表述.例如,前面的集
合A,B,C中, B, 和C都是A的真子集,而A同B,C, 都可以建立一一对应, 因此A是无
限集合.

　　无限集合研究中首先要回答的问题是:是否存在不对等的无限集合(它们之间
无法一一对应)?对此, G. Cantor于1874年证明了这样的一个定理:  “线段[0,1]
中全体点的组成无限集合R同全体整数组成的无限集合 Z = {1,2,3,4,…,n, n+1,
n+2,…}之间不能建立一一对应”,也即[0,1]中的点的全体不是可列无限集.

　　由于这个定理在认识无限中的特殊重要性,下面为它写出证明.

　　将[0,1]中的点都用10进制无限位小数表示( 有限位小数者,后面全部添上零,
并约定0 = 0.00000…;1 = 0.99999….  ).今假设定理不真,即[0,1]间全体小数
能同全体整数集合Z = {1, 2, 3, 4, …, n, …}存在一种一一对应, 譬如说:

　　1 ---- a_1 = 0.472901862954….,
　　2 ---- a_2 = 0.326783593105….,
　　3 ---- a_3 = 0.578329673012….,
　　…………..                       

　　但在[0,1]中可找到这样的一个数a = 0. x_1x_2x_3….:,它的第一位数x_1
与与a_1的第一位数4不同; x_2与a_2的第二位数2不同; 位数x_3同a_3中的第三
位数8不同; …., 它的第n位数x_n同a_n的第n位数不同; …..这样的a 是存在的,
例如 a = 0. 214….就符合要求,可见上面的对应并没能把[0,1]中的全部点对应
完,即[0,1]不能同Z = {1, 2, 3, 4, 5, ….}一一对应. 这说明[0,1]中的全体
的点组成了比Z无限程度更”高”的无限集合. 这就完成了定理的证明.

　　这个定理让人类第一次知道了: ”无限的全体不是一个朦胧的一团,它们之
间是有本质区别的”. 依照Cantor,今后常把[0,1]中的全部点的集合的势称之为
连续统的势,并记为c.

　　无限集合第二个基本问题是:是否存在最大的无限集合,下面的叙述给以否定
的回答.但先要介绍从一个集合得到它的导来集合的概念:

　　对一个集合A的全体元素,依所有可能方式组成A的子集,再把它们看成一个新
的集合的元素, 这个新的集合.称之为原来集合的导来集合(Derivative Set),常
记为D,而原来的集合称为原始集合(Native Set).显然原来集合是它的导来集合
的一个特殊的元素.

　　例: 若A = {1, 2, 3},则A 的导来集合D为{{E},{1}, {2}, {3}, {1,2},
{1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

　　若原始集合为有限集合,它的导来集合也必是有限集合,只是所含元素数量会
增加;但若原始集合是无限集合,则导来集合也是无限集合,其无限程度当然不会
降低.然而能不能同它原来的集合一一对应呢? 若不能,就说明从任何无限集合可
导出无限程度更高的无限集合.对此,康托尔在1883年证明了一个定理.”原始集
合(不论是否无限)不能同它的导来集合建立一一对应”.这是集合论中极其重要
的一个定理,为此写出证明.

　　设A为一个集合(不管有限或无限), D为它的导来集合,若A 同D能建立一一对
应关系,使得A 的任何一个元素a 对应于D 的一个元素(实际上是A 的一个子集)
d_a, 于是:

　　(1),  a  属于D_a,  和   (2),  a 不属于 D_a

　　这两个关系必有一个成立.

　　记集合A中使得关系(2)成立的元素a的全体为 d^*, 它必不为空集合.因若不
然, 关系(1)对A的所有元素成立. 取A的a, b两个元素组成A的一个子集, 记为t,
它是D的元素, 理应对应A的一个元素,非a, 即 b. 设为a, 它也是A确的一个子集,
因而也是T的一个元素, 它必定对应于A的a, 因之, A的a 既对应于D 的(a, b),
又对应于D 的a, 这就矛盾. 因而A中元素适合关系(2)所组成的集合d^*不是空集.

　　因d^*是A的一个子集合,因而也是D的一个元素, 于是A 中必有元素a^* 与
d^* 对应. 在这对应下, a^* 属于d^*, 或者a^*不属于 d^*, 两者居一.

　　1, 若 a^* 属于d^*, 则由d^*的构成, 它的元素按规定,都不能属于d^*;

　　2, 若 a^* 不属于d^*, 则由d^*的构成, 它的元素按规定,都应属于d^*;

　　到此左右碰壁,其原因是认为A 同A的导来集合D一一对应.可见前提不确. 证
明完毕

　　显然任何集合A的导来集合D的势不可能小于A的势,因此这个定理即说明任何
集合的导来集合具有更大的势. (注意:在元素个数有限的情况,例如为n, Cantor
定理说的是一个常识: 2^n > n)

　　Cantor定理说明存在无限程度(无限集合的势)一个高于一个的无限集合,而
不存在无限程度最高(势最大)的无限集合.

　　前面两个基本定理中,” 线段[0,1]中全体点的无限集合C同全体整数构成的
无限集合 Z 之间不能建立一一对应”说的是一个具体的结论:”无限集不是铁板
一块”;而后面的一个定理说的是一个抽象的原则: “不存在无限程度最高的无
限集合”(细心的读者可发现前面一个定理是后面定理的特例). 这两个定理帮助
澄清了关于无限常见的一些模糊理解.例如:

　　1.   “无限是由有限生成的,例如: 1, 2, 3, 4, …, n, n+1, n+2, ….,
生成无限”.

　　不对! 实际上这样依靠扩展的方式只能生成可列的无限, 而[0,1]中全体点
就不可能靠点的无限选取的办法得到,因为它只能得到[0,1]中的可列无限的点集,
不能同[0,1]中全体的点一一对应.更何况[0,1]中全体的点组成的集合的导来集
合更加不可能从有限经扩展而生成.

　　2.  “[0,1]线段上的点是无限的,但装在有限长的线段上,说明无限和有限
可相互转化”.

　　不对! 即使不去追究”无限到有限转化”的准确含义是否科学,拿线段上的
点的全体作为无限的集合的代表也完全不对.因为从线段[0,1]的全体点出发可得
到无限程度更高的无限集合,更可依同样办法(导来集合)无休止的得到无限程度
更高的无限集合,这些无限集合无论如何不能用线段上的点集表示出来,或者说不
能装进有限的线段中.

　　3. “稠密的无限比稀朗的无限程度来的高”.

　　不对!从解析几何知识可知,直线上的有理点是稠密的(即任何两点之间必然
存在无穷个有理点),而整数点却是稀朗的.但它们之间可以建立一一对应(Cantor,
1874),它们的无限程度是一样的,它们的势都是?_0. 即使是分布更稀朗的无限点
集,例如坐标为:(1000)^1, (1000)^2, (1000)^3, ….,(1000)^n,  …., 的点的
无限集合,它的无限程度同稠密的有理点集合一样,它的势也是?_0.

　　4.  又如长度为1的线段上的点的全体能同平面上边长为1的正方形中的点的
全体建立一一对应,也能同空间中边长为1的立方体中的点的全体建立一一对应
(Cantor, 1877),而由解析几何知识知道边长为1的立方体中点的全体能同整个三
维空间中的点的全体建立一一对应.因此结论竟然是:长度为1(mm)的线段中的点
的全体能同整个宇宙中的点的全体建立一一对应,真是匪夷所思,但却有严格的证
明,人们不得不接受.

　　下面不加证明的介绍无限集合的第三个基本问题,它是一个很大的题目,它的
解决高度抽象,但它让无限作为一个整体完全暴露在人类思维的视野之中.

　　已经知道从一个无限集合出发,不停的作导来集,可以得到无限程度不断升高
的无限集合的系列.无限程度最低的可列无限集合的势为?_0,由导来集合的作法,
参照有限集合的情况,把导来所得的集合的势,形式地依次记为?_0, 2^( _?0),…,
2^(2^…(2^ _?0)…), ….

　　Cantor(1883) 提出的如下的问题:

　　是否存在着无限集合的序列 A_1, A_2, …, A_i, A_(i+1), 它们的势是递
增的,且相邻两个无限集合之间不存在其它本质不同的无限集?

　　同年,Cantor 回答了自己提出的问题:

　　存在并可以构造无限集合的序列 A_1, A_2, …, A_i, A_(i+1), 它们的势
是递增的,且相邻两个无限集合之间不存在其它本质不同的无限集.

　　称此无限集合的序列为Cantor序列,记它们的势为? _0, ? _1, ? _2, …, ?
_i, ? _(i+1), ….它们中间再也插不进一个其它的势.

　　这样的无限集合序列虽然触摸不到,但它们是可被人类思维掌握. 真正无限
的还是人类逻辑思维的威力!

　　然而, Cantor于1878年更提出了一个就在我们每一个人身边的问题:

　　[0, 1]线段中全体点组成的集合是Cantor序列中的哪一个?下面就是著名的
连续统假设:

　　Cantor连续统假设(Continuum Hypothesis, Cantor, 1878提出,1883年改写
): c =   ? _1.

　　就是说在[0,1]点集和全体整数组成的点集这两类无限集合之间,不存在别的
同它们不对等的无限集合.

　　Cantor连续统假设任何具有初中数学基础的人都能理解,但证明假设为真,可
望而不可即.

　　1901年夏天在巴黎科学院大厅召开的第二次国际数学家大会上,国际数学权威,
德国数学家大卫-希尔伯特(David Hilbert)受命向大会提出20世纪最值得研究的
23个数学问题的报告中,就把Cantor连续统猜想列为20世纪中最值得全世界数学
家全力解决的23问题的第一位.不仅是由于它的深刻,逻辑结构的美丽简洁,更由
于它的重要.事实证明,对它的研究,导致了对全部数学基础重新公理化改造.直到
1964年, Cantor所提的”c =   ? _1”的假设为美国科学院院士,保尔-科恩
(Paul Cohen)解决,其答案竟然是” 连续统猜想c =   ? _1成立与决定于采用怎
么样的的公理系统界定集合的概念”.其中关键的一个公理(选取公理)用通俗语
言解释就是:”对一个集合的子集合构成的集合可以视为可以考虑和可以识别的
对象”.科恩因此获得1996年菲尔茨大奖.

　　科恩的解决距离第二次国际数学家大会宣布Cantor连续统假设为20世纪23个
最值得研究问题的第一问题历时64年.Cantor对无限登峰造极的研究,人类征服无
限的成就也就此定格,人类终于摆脱笼罩在无限头上的面纱,人类感谢伟大Cantor.

　　在此必须写出为人类揭开”无限”这个奥秘的Cantor的悲惨结局.他竟为他
创立的罕世功绩受尽一班权威们空前的打击,以致他在三十九岁那年(1884)便开
始神经失常,此后时愈时发, 但他的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际
数学家会议上, 他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工
作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作 ”,但这时康托尔神志恍惚, 不能
从人们的崇敬中得到安慰.1901年国际数学大会把他著名的连续统猜想列为20世
纪中最值得全世界数学家全力解决的23问题的第一位消息传来时,他已经失去控制,
此后终年困于哈雷(Halle)大学(在德国东部Halle市, 临近莱比锡--Leipzig)精
神病院, 直到老死.但崇尚科学的德国人没有忘记他, 哈雷市的市志在<本市生活
过的名人栏>中郑重地写上”1918年,G. Cantor在本市去世”,以纪念他们曾接待
过的这位罕世的天才和对他不幸的一生表示默哀.

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　　[结束语]  虚无缥缈的”无限”困扰了人类几千年,只是由于数学家的加入,
短短的七,八十年中,竟让它变得如此实在,,究其成功的原因:1,为正确理解无限
给了一个数学的定义,2,为有效处理无限找到一个数学的工具.由此突破空泛概念
的重围而大步前进.后人从此得到启示:任何有生命力的学说,离不开概念的准确
和推理的精确.”概念模糊不清,命题模棱两可”的学说,可以用学术之外的力量
盛极一时,最后终究无法摆脱时代弃儿的结局.      (2009,01,27)